Como dar as coordenadas dos Vértices?

Inicialmente encontraremos o vertice D da base, este é obtido por meio da soma dos vetores AB e AC (Dica: Lembre da regra do paralelogramo para a soma de vetores, o vetor soma liga a origem ao quarto vertice).

Assim, AB  = B-A = (2, -1, 0) e AC = C-A = (-1, 0, -1)

Desta forma AB + AC = AD = (1, -1, -1).

Com isto D = AD+A = (1, 0, 0).

O volume do paralelepipedo é obtido por meio do produto misto entre os vetores AB, AC e AE. 

Definindo AE como AE(x, y-1, z-1).

Assim \(V=\left| \begin{array}{cc} x & y-1 & z-1 \\ 2 & -1 & 0\\ -1&0&-1 \end{array} \right| = 4\sqrt{2}\)

Desta forma \(V = x+2y-z-1=4\sqrt{2}\)

Temos que a relação entre os angulos diretores é \(cos^2(\alpha)+cos^2(\beta)+cos^2(\theta)=1\), desta forma \(cos(\theta)=\frac{1}{2}\)

Como, \(x=AEcos(\alpha), y-1=AEcos(\beta),z-1=AEcos(\theta)\)

Logo, \(V= AE\frac{1}{2}+2AE\frac{\sqrt{2}}{2}-AE\frac{1}{2}-\frac{2\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}=4\sqrt2\)

\(AE\sqrt2=5\sqrt2-\frac{1}{2}\)

\(AE=5-\frac{\sqrt2}{4}\)

Assim as coordenadas do ponto E são \(x=(\frac{5}{2}-\frac{\sqrt2}{8}), y=(\frac{5\sqrt2}{2}+\frac{3}{4}), z=(\frac{7}{2}-\frac{\sqrt2}{8})\)

Para determinarmos os vértices de uma parábola temos que encontrar o par ordenado de pontos que constituem as coordenadas de retorno da parábola. Esse ponto de retorno da parábola, mais conhecido como vértice da parábola, pode ser calculado com base nas expressões matemáticas envolvendo os coeficientes da função do 2º grau dada pela lei de formação y+ax^2+bx+c