Como é definido, ou representado, o operador Nabla (que gera o gradiente, rotacional e divergente) em coordenadas cilíndricas, esféricas e elípticas?

Cálculo I

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UNESP

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Bruno Barboza

03.03.2016

💡 1 Resposta

PH Silva

08.03.2016

Algumas de suas representações e propriedades estão bem definidas aqui:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Nabla

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RD Resoluções

02.04.2018

Gradiente

No Sistema de coordenadas cartesiano em três dimensões, o gradiente de alguma função {\displaystyle f(x,y,z)} $f(x,y,z)$ é dado por:

$\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k}$

onde i, j, k são os vetores de uma Base normal

O gradiente de um campo tensorial, $\mathbf{A}$ , de ordem n é geralmente escrito como :

$\operatorname {grad} (\mathbf {A} )=\nabla \mathbf {A}$

e é um campo tensorial de ordem n + 1. Em particular, se o campo tensorial tem ordem 0, como por exemplo um campo escalar $\psi$ , o gradiente resultante,

$\operatorname {grad} (\psi )=\nabla \psi$

é um campo vetorial

Divergente

No espaço cartesiano tridimensional, a divergência de uma campo vetorial continuamente diferenciável {\displaystyle \mathbf

$\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$

é definida como a função escalar

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

A divergência de um campo tensorial, $\mathbf{A}$ , de ordem não nula n, é geralmente escrita como

$\operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A}$

e é uma contração para um tensor de ordem n − 1. Especificamente, a divergência de um vetor é um escalar. A divergência de um campo tensorial de ordem superor pode ser encontrada decompondo-se o campo tensorial na soma dos produtos externos, assim permitindo o uso da identidade,

$\nabla \cdot (\mathbf {B} \otimes {\hat {\mathbf {A} }})={\hat {\mathbf {A} }}(\nabla \cdot \mathbf {B} )+(\mathbf {B} \cdot \nabla ){\hat {\mathbf {A} }}$

onde $\mathbf {B} \cdot \nabla$ é a derivada direcional na direção $\mathbf {B}$ multiplicada pela sua magnitude. Especificamente, para o produto externo de dois vetores,

$\nabla \cdot (\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathrm {T} })=\mathbf {b} (\nabla \cdot \mathbf {a} )+(\mathbf {a} \cdot \nabla )\mathbf {b} \ .$

Rotacional

Em coordenadas cartesianas, para

$\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ :

$rot(\mathbf {F} )$ = $\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}$

$\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}$