Como calcular o comprimento de uma terceira mediana de um triangulo já tendo o valor de duas ?

Boa noite!

Desenhe um segmento horizontal de tamanho 12, outro segmento vertical de tamanho 9, cortando o anterior da seguinte forma:

    4                 8 ==> Tamanho horizontal

          | **

          |      6 ==> medida vertical

-------------------------- **

          |      3 ==> medida vertical

Ligando-se os pontos onde coloquei os '**' terá o segmento AB, que poderá ser obtido por pitágoras:

AB^2=6^2+8^2

AB=10

Como a outra mediana bate no ponto médio deste triângulo de lados 6, 8 e 10, a parte que está dentro deste mede 5 (sai do ponto médio da hipotenusa até o vértice onde vale 90 graus).

Como esta parte da mediana mede 1/3 do total, a mediana do triângulo inteiro vale:

3 x 5 = 15

Espero ter ajudado!

Vamos tomar a origem do sistema de coordenadas no baricentro O, fazendo o eixo x conter BN e o eixo y conter AM, já que são perpendiculares, vamos ainda tomar os vértices do triângulo como o sentido positivo dos eixos. Sabemos que o baricentro divide a mediana na proporção de 2 para o lado do vértice e 1 para o lado contrário, de forma que temos as seguintes posições para os pontos na notação adotada:

\(O=(0,0)\\ B=(8,0)\\ N=(-4,0)\\ A=(0,6)\\ M=(0,-3)\)

Resta-nos apenas determinar a posição de um dos pontos faltantes para determinar o comprimento da última mediana. É muito mais fácil determinar o ponto médio L do lado AB, que é a posição que a última mediana cruza o lado do triângulo:

\(2L=A+B=(0,6)+(8,0)\Rightarrow L=(4,3)\)

Da distância entre L e O, obtemos um terço da mediana:

\(LO=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5={1\over3}CL\Rightarrow\boxed{CL=15}\)