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Reta tangente

Determine os pontos da curva x^2 + 2xy + 3y^2=3 nos quais as retas
tangentes a estes pontos sejam perpendiculares a reta x + y = 3


3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Andre Verified user icon

Há mais de um mês

Para isso, vamos determinar o gradiente da função:

\({df \over dx}=2x+2y\\ {df \over dy}=2x+6y\\ Grad=(2x+2y,2x+6y)\)

Multiplicando:

\(Grad.(a,b)=0\\ 2ax+2ay+2bx+6by=0 \)

Sabendo que o coeficiente da reta dado é -1, a da reta deve ser 1:

\((2a+2b)x+(2a+6b)y=0\)

Resposta: então a e b devem ter valores que satisfazem o 1.

Para isso, vamos determinar o gradiente da função:

\({df \over dx}=2x+2y\\ {df \over dy}=2x+6y\\ Grad=(2x+2y,2x+6y)\)

Multiplicando:

\(Grad.(a,b)=0\\ 2ax+2ay+2bx+6by=0 \)

Sabendo que o coeficiente da reta dado é -1, a da reta deve ser 1:

\((2a+2b)x+(2a+6b)y=0\)

Resposta: então a e b devem ter valores que satisfazem o 1.

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Rodrigo

Há mais de um mês

Sei que esta solução está BEM atrasada, mas entrei há pouco tempo na comunidade. Aproveitando a vontade de fazer algo, taí a resposta.

Essa é uma questão solucionada por derivação implícita. Pode ser complicado isolar a variável y e supondo esta a y=f(x), ou seja y(x), iremos realizar a derivação através deste método.

Utilizando-se a notação de Leibniz dy/dx, podemos derivar a função facilmente:

Lembrando que du/dx = du/dy*dy/dx (regra da cadeia)

Então, exemplo dy^2/dx = dy^2/dy*dy/dx = 2y*dy/dx ;)

Vamos derivar a função, então:

d(x^2+2xy+3y^2)/dx = d(3)/dx

d(x^2)/dx + 2d(xy)/dx + 3d(y^2)/dx = 0

2x + 2(dx/dx*y + x*dy/dx) + 3 * 2y * dy/dx = 0

2x + 2(y+x*dy/dx) + 6y*dy/dx = 0

2x + 2y + 2x*dy/dx + 6y*dy/dx = 0 (dividindo por 2)

x + y + x*dy/dx + 3y*dy/dx = 0

dy/dx*(x+3y)=-x-y

dy/dx=-(x+y)/(x+3y)

Bom, como obtivemos a derivada em função de x e y podemos encontrar agora a inclinação que precisamos. O que temos de dado é que deve ser perpendicular à reta x+y=3.

x+y=3 ==> y = -x + 3

Reta de inclinação -1

Para que duas retas sejam perpendiculares o produto entre seus coeficientes angulares deve ser -1

m.m' = -1 ==> -1.m' = -1 ==> m' = 1 (esta é a inclinação de qualquer reta perpendicular à reta x+y=3)

Agora basta encontrar onde a derivada obtida (que é a inclinação da reta tangente nos pontos da equação) vale 1:

dy/dx=-(x+y)/(x+3y)

1 = -(x+y)/(x+3y)

x+3y = -x-y

3y+y=-x-x

4y=-2x

y = -(1/2)x ou x = -2y (1)

Agora que temos o x, basta substituir na equação original e obteremos os y

x^2+2xy+3y^2=3

(-2y)^2+2(-2y)y+3y^2=3

4y^2-4y^2+3y^2=3

3y^2=3

y^2=1 ==> y = 1 ou y = -1

Como temos x = -2y (1)

para y = 1, temos x = -2(1)=-2. Ponto (-2, 1)

para y = -1, temos x = -2(-1) = 2. Ponto (2, -1)

A solução é (-2,1) e (2,-1)

A parte abaixo mostra somente as equações das retas perpendiculares à reta x+y=3

Como as retas tangentes a (-2,1) e (2,-1) são perpendiculares à reta x+y=3

dy/dx=-(x+y)/(x+3y) = -(-2+1)/(-2+3)=-(-1)/1=1

dy/dx=-(2-1)/(2-3)=-(1)/(-1)=1

Equações das retas: y-y0=m(x-x0)

Para (-2,1):

y-1=1(x-(-2))

y-1=x+2

y=x+3

Para (2,-1):

y+1=1(x-2)

y+1=x-2

y=x-3

 

Abraços!!!

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Nathan

Há mais de um mês

Primeiro passo: Você deriva a função...

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas