Calcule as raízes da função y=2x3-5x2+2x

y = 2x³ - 5x² + 2x

As raízes de um polinômio é quando a função tem valor nulo, e assim temos que descobrir quais valores de x fazem isso ocorrer.

 2x³ - 5x² + 2x = 0

O polinômio acima, claramente tem o 0 como uma de suas raízes (Observe que o x pode ser colocado em evidência, já que multiplica todos os termos da expressão)

Assim, vamos colocar o x em evidência:

x(2x² - 5x + 2) = 0

Agora, para descobrir as outras raízes, vamos supor que x seja diferente de 0, assim podemos dividir por ele. Aí temos:

(2x² - 5x + 2) = 0

Agora, temos uma equação de segundo grau, que sabemos resolver pela fórmula de bhaskara:

x = (-(-5) +/- raiz((-5^2) - 4*2*2))/2*2 = (5 +/- raiz(25 - 16))/4 = (5 +/- raiz(9))/4 = (5 +/- 3)/4

x = 2 ou x = 1/2

Logo, as raízes da expressão y = 2x³ - 5x² + 2x são x = 0, x = 2, x = 1/2

A raízes de uma equação polinomial são valores nas incógnitas que tornam o valor da função nulo, ou seja, igual a 0. Então temos:

y = 2x³ - 5x² + 2x  
2x³ - 5x² + 2x = 0

Colocando-se X em evidência obtemos:

x.(2x² - 5x + 2) = 0

Primeiro temos:

x.(2x² - 5x + 2) = 0
x = 0/(2x² - 5x + 2)
x = 0 

Depois:

x.(2x² - 5x + 2) = 0
(2x² - 5x + 2) = 0/x
2x² - 5x + 2 = 0

Aplicando-se a fórmula de Bháskara temos:

X = [-b +- raiz(b²-4.a.c)]/2.a
X = [5 +- raiz ((-5)² - 4.2.2)]/2.2
X = [5 +- raiz (25-16)]/4
X = [5 +- raiz (9)]/4
X = (5 +- 3)/4
X' = (5+3)/4 = 8/4 = 2
X'' = (5-3)/4 = 2/4 = 1/2

Como a equação é uma cúbica, ela terá três raízes, que são 0, 1/2 e 2.

Demostração:

SE x=0 TEMOS:

y = 2x³ - 5x² + 2x

y = 2.(0)³ - 5.(0)² + 2.0
y = 0 - 0 + 0

y = 0

SE x=1/2 TEMOS:

y = 2x³ - 5x² + 2x

y = 2.(1/2)³ - 5.(1/2)² + 2.1/2
y = 2/8 - 5/4 + 2/2

y = 1/4 - 5/4 + 4/4
y = 0

SE x=2 TEMOS:

y = 2x³ - 5x² + 2x

y = 2.(2)³ - 5.(2)² + 2.2
y = 16 - 20 + 4

y = 0