Para resolver a equação diferencial ordinária dada, precisamos encontrar a equação característica associada. A equação diferencial é: \[ y'' + 2y' - 15y = 0 \] A equação característica é obtida substituindo \( y \) por \( e^{rt} \), onde \( r \) é uma constante. Assim, a equação característica será: \[ r^2 + 2r - 15 = 0 \] Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Aqui, \( a = 1 \), \( b = 2 \) e \( c = -15 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \] Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2(1)} \] \[ r = \frac{-2 \pm 8}{2} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \( r_1 = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( r_2 = \frac{-10}{2} = -5 \) Portanto, a equação característica associada à equação diferencial é: \[ r_1 = 3 \quad \text{e} \quad r_2 = -5 \] Analisando as alternativas: a) \( r_{1} = 5 \quad e \quad r_{2} = -3 \) - Incorreto b) \( r_{1} = 2 \quad e \quad r_{2} = 1 \) - Incorreto c) \( r_{1} = 3 \quad e \quad r_{2} = -5 \) - Correto d) \( r_{1} = - \quad e \quad r_{2} = 0 \) - Incorreto e) \( r_{1} = -2 \quad e \quad r_{2} = 3 \) - Incorreto A alternativa correta é: c) \( r_{1} = 3 \quad e \quad r_{2} = -5 \).