Determinar K∈R , de modo que o sistema [kx+y=3x+ky=5] tenha uma única solução. a.k ≠ ±4 b.k ≠ ±2 c.k ≠ ±1 d.k ≠ ±3 e.k ≠ ±5

Para que o sistema de equações lineares tenha uma única solução, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. O sistema dado é: 1) \( kx + y = 3 \) 2) \( x + ky = 5 \) Podemos escrever isso na forma de matriz: \[ \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix} \] O determinante dessa matriz é dado por: \[ D = k \cdot k - 1 \cdot 1 = k^2 - 1 \] Para que o sistema tenha uma única solução, precisamos que \( D \neq 0 \): \[ k^2 - 1 \neq 0 \] Isso implica que: \[ k^2 \neq 1 \quad \Rightarrow \quad k \neq \pm 1 \] Portanto, a condição para que o sistema tenha uma única solução é que \( k \) não pode ser igual a \( 1 \) ou \( -1 \). Analisando as alternativas: a) \( k \neq \pm 4 \) - Não é relevante para a condição. b) \( k \neq \pm 2 \) - Não é relevante para a condição. c) \( k \neq \pm 1 \) - Esta é a condição correta. d) \( k \neq \pm 3 \) - Não é relevante para a condição. e) \( k \neq \pm 5 \) - Não é relevante para a condição. A alternativa correta é: c) k ≠ ±1.