Para resolver essa questão, vamos considerar a situação descrita. O fazendeiro tem 200 metros de cerca e deseja cercar um retângulo adjacente a um rio, o que significa que um dos lados do retângulo não precisa de cerca. Vamos chamar: - \( x \) = comprimento do lado paralelo ao rio - \( y \) = comprimento dos lados perpendiculares ao rio Como o lado ao longo do rio não precisa de cerca, a quantidade de cerca utilizada será: \[ x + 2y = 200 \] A área \( A \) do retângulo é dada por: \[ A = x \cdot y \] Agora, podemos expressar \( x \) em termos de \( y \): \[ x = 200 - 2y \] Substituindo na fórmula da área: \[ A = (200 - 2y) \cdot y \] \[ A = 200y - 2y^2 \] Para encontrar a área máxima, derivamos \( A \) em relação a \( y \) e igualamos a zero: \[ \frac{dA}{dy} = 200 - 4y = 0 \] \[ 4y = 200 \] \[ y = 50 \] Agora, substituímos \( y \) de volta para encontrar \( x \): \[ x = 200 - 2(50) = 100 \] Agora, calculamos a área máxima: \[ A = x \cdot y = 100 \cdot 50 = 5000 \, m² \] Portanto, a maior área possível que o fazendeiro pode cercar é: D) 5000 m².