Como determinar a equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam do eixo Ox e do ponto (0,2)?

A parábola pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a uma reta fixa e a um ponto fixo são iguais. Mas vamos a sua pergunta... 

Seja P=(x,y) um ponto deste lugar geométrico.

Sabemos que o eixo Ox é composto por pontinhos com tipo (x,0).

É dado o ponto A=(0,2).

É afirmado no enunciado ainda que este lugar geométrico é composto por pontos que equidistam de Ox e do ponto A. Ou seja,

d(P,Ox)=d(P,A)

sqrt{(x-x)²+y²}=sqrt{x²+(y-2)²} %Elevando ambos lados ao quadrado

(x-x)²+y²=x²+(y-2)²

y²=x²+(y-2)²

y²-(y-2)²=x²  %Sabemos que a²-b²=(a+b)(a-b)

(y+y-2)(y-y+2)=x²

(2y-2)2=x²

(y-1)4=x²

(y-1)=x²/4

y=(x²/4) + 1 %Equação da parábola que atende as exigências do enunciado.

Espero ter ajudado!

Ela foi perfeita acima. Sem qualquer acréscimo necessário.

O eixo 0x é definido pela reta y = 0. Logo, pela fórmula de distância:

\(\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(x - x)^2 + (y - 0)^2} \\ (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = (x - x)^2 + (y - 0)^2 \\ \boxed{x^2 + (y-2)^2 = y^2}\)

Trata-se de uma parábola.