Para resolver a equação diferencial \( L \frac{di}{dt} + Ri = E(t) \) com os valores dados, vamos substituir os parâmetros: - \( L = 0,5 \, H \) - \( R = 10 \, \Omega \) - \( E(t) = 12 \, V \) A equação fica: \[ 0,5 \frac{di}{dt} + 10i = 12 \] Dividindo toda a equação por 0,5 para simplificar: \[ \frac{di}{dt} + 20i = 24 \] Agora, essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, podemos usar o método do fator integrante. O fator integrante \( \mu(t) \) é dado por: \[ \mu(t) = e^{\int 20 \, dt} = e^{20t} \] Multiplicando a equação diferencial por \( \mu(t) \): \[ e^{20t} \frac{di}{dt} + 20 e^{20t} i = 24 e^{20t} \] A parte esquerda da equação pode ser reescrita como a derivada do produto: \[ \frac{d}{dt}(e^{20t} i) = 24 e^{20t} \] Integrando ambos os lados: \[ e^{20t} i = \int 24 e^{20t} \, dt = \frac{24}{20} e^{20t} + C \] \[ e^{20t} i = 1,2 e^{20t} + C \] Dividindo por \( e^{20t} \): \[ i(t) = 1,2 + Ce^{-20t} \] Agora, aplicamos a condição inicial \( i(0) = 0 \): \[ 0 = 1,2 + C \] Portanto, \( C = -1,2 \). Substituindo \( C \) na equação da corrente: \[ i(t) = 1,2 - 1,2 e^{-20t} \] Assim, a corrente \( i(t) \) no circuito em série é: \[ i(t) = 1,2(1 - e^{-20t}) \, A \] Essa é a expressão da corrente em função do tempo.