Como encontrar os valores de A, B e C?

Bom, primeiro fatoramos o denominador do lado direito da equação. x³-x²-x+1 fatorado fica (x+1).(x-1)²...

a/(x+1) + b/(x-1) + c/(x-1)² = 3x + 5 / [(x+1).(x-1)²]

Agora passamos o denominador do lado direito para o lado esquerdo da equação (já que tava dividindo vai passar multiplicando). Multiplicando isso por cada termo do lado esquerdo, podemos cancelar algumas expressões com o denominador de cada termo. Fica assim:

[(x+1).(x-1)²] . [a/(x+1) + b/(x-1) + c/(x-1)²] = 3x + 5

a.(x-1)² + b.(x+1).(x-1) + c.(x+1) = 3x + 5

Agora é só substituir o x pelas 2 raízes (x=1 e x=-1) e por um terceiro valor que pode ser qualquer número (usa 0 pra ficar mais simples rs). Quando vc for substituir pelo terceiro valor se lembre de substituir os valores de A e C que vc já encontrou, pra então encontrar o B. Nesse caso vc ta "chutando" um terceiro valor pq estamos no caso de Raízes Reais com Repetição.

(em vez de substituir x com as raízes vc poderia fazer por sistema, mas geralmente demora mais e é mais difícil)

Fiz meio na pressa, encontrei isso: A=1/2, B=-1/2 e C=4

Aqui está o problema: (a/(x+1)) + (b/(x-1))+(c/(x-1)²) = (3x + 5) / (x³-x²-x+1)

\(\[\begin{align} & x{}^\text{3}-x{}^\text{2}-x+1\to x+1).\left( x-1 \right){}^\text{2} \\ & \frac{a}{\left( x+1 \right)\text{ }+\text{ }b/\left( x-1 \right)}+\frac{c}{\left( x-1 \right){}^\text{2}} \\ & \frac{3x\text{ }+\text{ }5}{(x+1).(x-1){}^\text{2}} \\ & \left( x+1 \right).\left( x-1 \right){}^\text{2}.\frac{a}{\left( x+1 \right)}.\frac{b}{\left( x-1 \right)\text{ }}+\text{ }\frac{c}{\left( x-1 \right){}^\text{2}} \\ & 3x\text{ }+\text{ }5 \\ & \log o: \\ & a.\left( x-1 \right){}^\text{2}\text{ }+\text{ }b.\left( x+1 \right).\left( x-1 \right)\text{ }+\text{ }c.\left( x+1 \right) \\ & \text{substituindo (x }\!\!'\!\!\text{ =1) e (x }\!\!'\!\!\text{ }\!\!'\!\!\text{ =-1)} \\ & \text{teremos os resultados:} \\ & a=\frac{1}{2} \\ & b=-\frac{1}{2} \\ & c=4 \\ \end{align}\] \)