Para resolver a questão sobre o fluxo do rotacional do campo vetorial \( F(x, y, z) = (xz, yz, z) \) através da superfície lateral do vaso, precisamos aplicar o teorema de Stokes. O teorema de Stokes relaciona o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície com a integral de linha ao longo da borda dessa superfície. A primeira coisa a fazer é calcular o rotacional do campo vetorial \( F \). O rotacional \( \nabla \times F \) é dado por: \[ \nabla \times F = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \] Calculando cada componente: 1. \( \frac{\partial F_3}{\partial y} = 0 \) e \( \frac{\partial F_2}{\partial z} = y \) então a primeira componente é \( 0 - y = -y \). 2. \( \frac{\partial F_1}{\partial z} = x \) e \( \frac{\partial F_3}{\partial x} = 0 \) então a segunda componente é \( x - 0 = x \). 3. \( \frac{\partial F_2}{\partial x} = 0 \) e \( \frac{\partial F_1}{\partial y} = 0 \) então a terceira componente é \( 0 - 0 = 0 \). Portanto, o rotacional é: \[ \nabla \times F = (-y, x, 0) \] Agora, precisamos calcular o fluxo do rotacional através da superfície lateral do vaso. A superfície lateral é delimitada pela equação \( z = x + y \) e \( 1 < z < 4 \). Para calcular o fluxo, precisamos integrar o rotacional sobre a superfície. No entanto, como o teorema de Stokes nos diz, o fluxo do rotacional através da superfície é igual à integral de linha ao longo da borda da superfície. Se a borda da superfície não tem contribuição (ou seja, se a curva de contorno é fechada e não há variação), o fluxo do rotacional será zero. Dado que não temos informações adicionais que indiquem que há um fluxo não nulo, podemos concluir que o fluxo do rotacional do campo vetorial \( F \) através da superfície lateral do vaso é: 0. Portanto, a alternativa correta é: 0.