Vamos resolver a equação diferencial dada: \((1+x)dy + ydx = 0\). Primeiro, vamos dividir todos os membros por \((1+x)\) conforme a dica: \[ dy + \frac{y}{1+x}dx = 0 \] Agora, podemos reescrever isso como: \[ dy = -\frac{y}{1+x}dx \] Agora, vamos separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{1+x} \] Agora, integramos ambos os lados: \[ \int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{1+x} \] Isso resulta em: \[ \ln |y| = -\ln |1+x| + C \] Onde \(C\) é a constante de integração. Podemos reescrever isso como: \[ \ln |y| = \ln |(1+x)^{-1}| + C \] Elevando ambos os lados à base \(e\): \[ |y| = e^C \cdot |1+x|^{-1} \] Podemos substituir \(e^C\) por uma nova constante \(k\): \[ y = \pm \frac{k}{1+x} \] Assim, a forma geral da solução é: \[ y = \pm e^C (1+x)^{-1} \] Agora, analisando as alternativas: A) O resultado da integral é \(y = ± e^x(1+x)\) - Não está correto. B) O resultado da integral é \(y = ± e e(1+x) = ±\) - Não está correto. C) O resultado da integral é \(y = ± e^c(1+x)\) - Não está correto. D) O resultado da integral é \(y = e^{x+1}(e+x)\) - Não está correto. E) O resultado da integral é \(y = ± e^c(1+x)\) - Esta é a que mais se aproxima da forma que encontramos. Portanto, a alternativa correta é a E.