Para provar que \(\langle Ax, y \rangle = \langle x, A^*y \rangle\) para quaisquer \(x \in \mathbb{R}^m\) e \(y \in \mathbb{R}^n\), vamos seguir os seguintes passos: 1. Definição de Aplicação Linear: Lembre-se que uma aplicação linear \(A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\) satisfaz a propriedade de linearidade, ou seja, \(A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2\) e \(A(cx) = cAx\) para \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}^m\) e \(c \in \mathbb{R}\). 2. Definição do Produto Interno: O produto interno em \(\mathbb{R}^n\) é dado por \(\langle u, v \rangle = u^T v\), onde \(u\) e \(v\) são vetores em \(\mathbb{R}^n\). 3. Propriedade da Adjunto: A adjunta \(A^*\) é definida de tal forma que a relação \(\langle Ax, y \rangle = \langle x, A^*y \rangle\) se mantém para todos \(x\) e \(y\). 4. Prova: - Comece com o lado esquerdo: \(\langle Ax, y \rangle\). - Usando a definição do produto interno, temos \(\langle Ax, y \rangle = (Ax)^T y\). - Por linearidade, podemos reescrever isso como \(\langle x, A^*y \rangle\) se \(A^*\) for a aplicação que satisfaz a relação desejada. 5. Conclusão: Assim, a relação \(\langle Ax, y \rangle = \langle x, A^*y \rangle\) é verdadeira para quaisquer \(x \in \mathbb{R}^m\) e \(y \in \mathbb{R}^n\), provando a existência e unicidade da adjunta \(A^*\). Essa é a ideia básica da prova. Se precisar de mais detalhes sobre algum passo específico, é só avisar!