Seja \(f(x)=\frac{1}{cos^2x \sqrt{tg(x)-1}}\), podemos rescrevê-la como \(f(x)=\frac{sec^2(x)}{\sqrt{tg(x)-1}}\)

Assim \(\int f(x)dx =\int \frac{sec^2(x)dx}{\sqrt{tg(x)-1}}\)

Pelo metodo da substituição temos:

 \(u=tg(x)-1\)

Deste modo \(du=sec^2xdx\)

Com isto temos:

 \(\int \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt u + C\)

Voltando de para a variavel x teremos:

\(\int \frac{sec^2(x)dx}{\sqrt{tg(x)-1}}=2\sqrt{tg(x)-1} + C\)