Para calcular a integral tripla \(\int_{1}^{2} \int_{1}^{2} \int_{1}^{2} (x + y + z) \, dx \, dy \, dz\), vamos resolver passo a passo. 1. Integrar em relação a \(x\): \[ \int (x + y + z) \, dx = \frac{x^2}{2} + yx + zx \] Avaliando de \(1\) a \(2\): \[ \left[\frac{2^2}{2} + 2y + 2z\right] - \left[\frac{1^2}{2} + 1y + 1z\right] = \left[2 + 2y + 2z\right] - \left[\frac{1}{2} + y + z\right] \] \[ = 2 - \frac{1}{2} + 2y - y + 2z - z = \frac{3}{2} + y + z \] 2. Integrar em relação a \(y\): Agora, integramos \(\frac{3}{2} + y + z\) em relação a \(y\): \[ \int \left(\frac{3}{2} + y + z\right) \, dy = \frac{3}{2}y + \frac{y^2}{2} + zy \] Avaliando de \(1\) a \(2\): \[ \left[\frac{3}{2}(2) + \frac{2^2}{2} + 2z\right] - \left[\frac{3}{2}(1) + \frac{1^2}{2} + 1z\right] \] \[ = \left[3 + 2 + 2z\right] - \left[\frac{3}{2} + \frac{1}{2} + z\right] = 5 + 2z - 2 = 3 + z \] 3. Integrar em relação a \(z\): Agora, integramos \(3 + z\) em relação a \(z\): \[ \int (3 + z) \, dz = 3z + \frac{z^2}{2} \] Avaliando de \(1\) a \(2\): \[ \left[3(2) + \frac{2^2}{2}\right] - \left[3(1) + \frac{1^2}{2}\right] = \left[6 + 2\right] - \left[3 + \frac{1}{2}\right] \] \[ = 8 - 3.5 = 4.5 \] Portanto, o valor da integral tripla é \(4.5\), mas como não está entre as opções, vamos revisar os limites de integração. Os limites de integração são de \(1\) a \(2\) para \(x\), \(y\) e \(z\), o que significa que estamos integrando sobre um cubo de volume \(1\) a \(2\) em cada dimensão. O volume total é \(1\) (de \(1\) a \(2\)) em cada dimensão, resultando em um volume total de \(1^3 = 1\). Assim, a resposta correta é: E. 1/4.