Como calculo o centro de massa de um cone?

Como o sólido possui um eixo de simetria, o seu CM estará sobre o eixo,  é necessário calcular a ordenada do CM, cujo valor é: 

Y=  ∫ y.dv /  ∫ dv

Usando volume do cone como 1/3 Πr²h, acha-se que O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo, a 1/4 da distância da base ao eixo.

Y= 1/4 h

Y= Cordenada y do Centro de Massa.

CM= Centro de Massa.

Veja melhor em:

http://www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/93/integrais%20do%20centro%20de%20massa.para%20transparencia%20html.pdf3.pdf

\(\[\begin{align} & Temos \\ & Y=~~\frac{\int \text{ }y.dv\text{ }}{\int \text{ }dv} \\ & onde: \\ & Y=\text{ }\frac{1}{4}h \\ & Y=\text{ cordenada do eixo y} \\ & CM=\text{ }Centroide \\ \end{align}\] \)

A fórmula referente ao volume do cone é dada por:

\(\[\text{V=}\frac{\pi .r{}^\text{2}.h}{3}\]\)

O seu centro está localizado a 1/4 do eixo Y, logo, o seu eixo de simetria está sobre o eixo, portanto deve-se calcular:

\(\[\begin{align} & Y=\frac{1}{4}h\to \frac{\int{y.dv}}{\int{dv}} \\ & onde: \\ & \text{Y=cordenada do eixo y} \\ & \text{CM = Centr }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ ide} \\ & \text{em um cilidro:} \\ & \text{base: r} \\ & \text{altura: dy} \\ & \text{volume: dv} \\ & \\ \end{align}\] \)