Vamos analisar cada uma das afirmativas: I. Uma função f(x,y) é contínua quando \( \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = f(a,b) \) para todo (a,b) pertencente ao domínio. - Esta afirmativa está correta. A definição de continuidade para funções de várias variáveis é análoga à de uma variável. II. A função \( f(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \) é contínua no domínio \( D = \{ (x,y) | (x,y) \neq (0,0) \} \). - Esta afirmativa também está correta. A função é contínua em todo ponto do domínio, exceto na origem, que não está incluída. III. A função definida por partes \( f(x,y) = \frac{3x^2y}{x^2 + y^2} \), se \( (x,y) \neq (0,0) \) e \( f(x,y) = 0 \), se \( (x,y) = (0,0) \) é descontínua. - Esta afirmativa está correta. A função não é contínua na origem, pois o limite quando \( (x,y) \to (0,0) \) não é igual a 0. IV. A função definida por partes \( f(x,y) = \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} \), se \( (x,y) \neq (0,0) \) e \( f(x,y) = 0 \), se \( (x,y) = (0,0) \) é descontínua. - Esta afirmativa está incorreta. A função é contínua na origem, pois o limite quando \( (x,y) \to (0,0) \) é 0. Agora, vamos resumir as análises: - I: Correta - II: Correta - III: Correta - IV: Incorreta Portanto, a alternativa que contém todas as afirmativas verdadeiras é: C) II, III e IV.