O Teorema de Bolzano, também conhecido como Teorema do Valor Intermediário para Zero, é um importanteresultado da análise matemática que estabelece um

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O Teorema de Bolzano, também conhecido como Teorema do Valor Intermediário para Zero, é um importanteresultado da análise matemática que estabelece uma condição para a existência de raízes de uma função contínua.De acordo com o teorema, se uma função f(x) é contínua em um intervalo fechado [a, b] e assume valores comsinais opostos em dois pontos distintos dentro desse intervalo, então existe pelo menos um ponto c no intervalo (a,b) onde f(c) é igual a zero, ou seja, a função se anula nesse ponto. Desta forma, sendo a função f(x) = x 4 - 2x 3 -16x 2 + 32x + 32, verifique as possibilidades de intervalos definidos a seguir, que poderiam ser utilizados no teorema,para garantir a existência de uma raiz: I. (-3, 5) II. (-1, 5) III. (3, 5) IV. (-1, 3) Assinale a alternativa CORRETA: 22/09/2025, 15:01 about:blank about:blank 1/6 A ) Somente as sentenças I e IV estão corretas. B ) Somente a sentença III está correta. C ) Somente as sentenças I, II e IV estão corretas. D ) Somente as sentenças II e IV estão corretas.

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Para aplicar o Teorema de Bolzano, precisamos verificar se a função $ f(x) = x^4 - 2x^3 - 16x^2 + 32x + 32 $ assume valores com sinais opostos nos intervalos dados. Vamos calcular $ f(x) $ para os extremos de cada intervalo:

1. **Intervalo I: (-3, 5)**
   - $ f(-3) = (-3)^4 - 2(-3)^3 - 16(-3)^2 + 32(-3) + 32 = 81 + 54 - 144 - 96 + 32 = -13 $ (negativo)
   - $ f(5) = (5)^4 - 2(5)^3 - 16(5)^2 + 32(5) + 32 = 625 - 250 - 400 + 160 + 32 = 167 $ (positivo)
   - **Valores com sinais opostos**: Sim.

2. **Intervalo II: (-1, 5)**
   - $ f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 16(-1)^2 + 32(-1) + 32 = 1 + 2 - 16 - 32 + 32 = -13 $ (negativo)
   - $ f(5) = 167 $ (positivo)
   - **Valores com sinais opostos**: Sim.

3. **Intervalo III: (3, 5)**
   - $ f(3) = (3)^4 - 2(3)^3 - 16(3)^2 + 32(3) + 32 = 81 - 54 - 144 + 96 + 32 = 11 $ (positivo)
   - $ f(5) = 167 $ (positivo)
   - **Valores com sinais opostos**: Não.

4. **Intervalo IV: (-1, 3)**
   - $ f(-1) = -13 $ (negativo)
   - $ f(3) = 11 $ (positivo)
   - **Valores com sinais opostos**: Sim.

Agora, vamos resumir os resultados:
- Intervalo I: correto
- Intervalo II: correto
- Intervalo III: incorreto
- Intervalo IV: correto

Portanto, as sentenças corretas são I, II e IV. A alternativa correta é: **C) Somente as sentenças I, II e IV estão corretas.**

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