Como calcular integral de (ln x)³ / x^7 ?

Deve utilizar a integração por partes três vezes:

u = (lnx)³

dv = 1/x^7.dx, então

du = 3(lnx)².1/x.dx

v = -1/6x^6

int.(lnx)³/x^7dx = -(lnx)³/6x^6 – int.(-1/6x^6).(3(lnx)².1/x)dx =

= -(lnx)³/6x^6 – int.-(3(lnx)²/6x^7)dx =

= -(lnx)³/6x^6 + int.(lnx)²/2x^7)dx *

Usando integração por partes em *

u = (lnx)²

dv = 1/2x^7.dx, então

du = 2(lnx).1/x.dx

v = -1/12x^6

int.(lnx)²/2x^7dx = -(lnx)/12x^6 – int.(-1/12x^6).(2(lnx).1/x)dx =

= -(lnx)³/12x^6 – int.-(2(lnx)/12x^7)dx =

= -(lnx)³/12x^6 + int.(lnx)/6x^7)dx **

Usando novamente integração por partes em **

u = (lnx)

dv = 1/6x^7.dx, então

du = 1/x.dx

v = -1/36x^6

int.(lnx)/6x^7)dx = -(lnx)/36x^6 – int.(-1/36x^6).(1/x)dx =

= -(lnx)³/36x^6 – int.-(1/36x^7)dx =

= -(lnx)³/36x^6 – 1/218x^6

montando temos:

int.(lnx)³/x^7dx = -(lnx)³/6x^6 – (lnx)³/12x^6 - (lnx)³/36x^6 – 1/218x^6 + C =

= -1/6x^6 [(lnx)³ + (lnx)³/2x^6 + (lnx)³/6x^6] - 1/218x^6 + C

ainda pode simplificar mais

Para encontrarmos a integral da função dada, devemos fazer integração por partes:

\(u = (lnx)³ dv = 1/x^7.dx, \\ du = 3(lnx)².1/x.dx \\ v = -1/6x^6\)

Usando integração por partes novamente temos:

\(u = (lnx)² dv = 1/2x^7.dx \\ du = 2(lnx).1/x.dx \\ v = -1/12x^6\)

Temos então a integral abaixo:

\(\begin{align} & \int_{{}}^{{}}{\frac{{{(\ln x)}^{2}}}{2{{x}^{7}}}=-\frac{\ln x}{12{{x}^{6}}}-\int_{{}}^{{}}{\frac{-1}{12{{x}^{6}}}\frac{1}{x}}} \\ & \int_{{}}^{{}}{\frac{{{(\ln x)}^{2}}}{2{{x}^{7}}}=\frac{-{{(\ln x)}^{3}}}{12{{x}^{6}}}+\int_{{}}^{{}}{\frac{\ln x}{6{{x}^{7}}}}} \\ \end{align} \)

\(u = (lnx) dv = 1/6x^7.dx \\ du = 1/xdx \\ v = -1/36x^6\)

Integrando novamente temos:

\(\begin{align} & \int_{{}}^{{}}{\frac{\ln x}{6{{x}^{7}}}=\frac{-\ln x}{36{{x}^{6}}}-\int_{{}}^{{}}{\frac{-1}{36{{x}^{6}}}\frac{1}{x}}} \\ & \int_{{}}^{{}}{\frac{\ln x}{6{{x}^{7}}}=\frac{-{{(\ln x)}^{3}}}{36{{x}^{6}}}-\int_{{}}^{{}}{\frac{-1}{36{{x}^{7}}}}} \\ & \int_{{}}^{{}}{\frac{\ln x}{6{{x}^{7}}}=\frac{-1}{6{{x}^{6}}}\left( \frac{{{(\ln x)}^{3}}}{2{{x}^{6}}}+\frac{{{(\ln x)}^{3}}}{6{{x}^{6}}} \right)-\frac{1}{218{{x}^{6}}}}+C \\ \end{align} \)

Portanto, a integral será \(\boxed{\int_{}^{} {\frac{{\ln x}}{{6{x^7}}} = \frac{{ - 1}}{{6{x^6}}}\left( {\frac{{{{(\ln x)}^3}}}{{2{x^6}}} + \frac{{{{(\ln x)}^3}}}{{6{x^6}}}} \right) - \frac{1}{{218{x^6}}}} + C}\).