Para dois pontos genéricos \((x_0,y_0)\) e \((x_1,y_1)\), a distância \(D\) entre eles é:

\(\Longrightarrow D= \sqrt{ (x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2}\)

Dados os pontos \(A=(2,0)\), \(B=(7,0)\) e \(M=(x_m,y_m)\), tem-se as seguintes distâncias:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} D_{M-A} = \sqrt{ (x_m - x_a)^2 + (y_m - y_a)^2} \\ D_{M-B} = \sqrt{ (x_m - x_b)^2 + (y_m - y_b)^2} \end{matrix} \right.\)

Deve-se encontrar os valores de \(x_m\) e \(y_m\).

Pelo enunciado, sabemos que \(D_{M-A}=3\) e \(D_{M-B}=4\). Então, as equações anteriores ficam da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 3 = \sqrt{ (x_m - 2)^2 + (y_m - 0)^2} \\ 4 = \sqrt{ (x_m - 7)^2 + (y_m - 0)^2} \end{matrix} \right.\)    \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 3 = \sqrt{ (x_m - 2)^2 + y_m ^2} \\ 4 = \sqrt{ (x_m - 7)^2 + y_m ^2} \end{matrix} \right.\)

Elevando as duas equações ao quadrado, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 9 = (x_m - 2)^2 + y_m ^2 & (I)\\ 16 = (x_m - 7)^2 + y_m ^2 & (II) \end{matrix} \right.\)

Realizando a subtração entre as duas equações, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow 16-9 = \Big [(x_m - 7)^2 + y_m \Big ] - \Big [(x_m - 2)^2 + y_m \Big ]\)

\(\Longrightarrow 7 =(x_m - 7)^2 -(x_m - 2)^2 \)

\(\Longrightarrow 7 =(x_m^2 - 14x_m +49) -(x_m^2 - 4x_m +4)\)

Portanto, o valor de \(x_m\) é:

\(\Longrightarrow 7 =x_m^2 - 14x_m +49 -x_m^2 + 4x_m -4\)

\(\Longrightarrow 7 =- 10x_m +45\)

\(\Longrightarrow 10x_m =45-7\)

\(\Longrightarrow 10x_m =38\)

\(\Longrightarrow \underline { x_m =3,8}\)

Substituindo o valor de \(x_m\) na equação \((I)\), o valor de \(y_m\) é:

\(\Longrightarrow 9 = (x_m - 2)^2 + y_m ^2\)

\(\Longrightarrow y_m ^2 = 9 - (x_m - 2)^2\)

\(\Longrightarrow y_m ^2 = 9 - (3,8 - 2)^2\)

\(\Longrightarrow y_m =\sqrt { 9 - (1,8)^2 }\)

\(\Longrightarrow \underline { y_m =2,4 }\)

Concluindo o ponto \(M=(x_m,y_m)\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ M=(3,8 \,;\,2,4) $}\)