Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre derivadas parciais e mistas: 1. ( ) A segunda derivada em X da função. Esta afirmativa está incompleta, mas se considerarmos que se refere à segunda derivada em relação a X, ela é verdadeira, pois a segunda derivada em relação a uma variável é uma operação válida e importante. 2. ( ) A segunda derivada em Y da função. Assim como a anterior, esta afirmativa também está incompleta, mas se referindo à segunda derivada em relação a Y, ela é verdadeira. 3. ( ) A ordem das derivadas mistas (primeiro X e depois Y, e vice-versa) é relevante tal que Fxy(x,y) ≠ Fyx(x,y). Esta afirmativa é falsa. De acordo com o Teorema de Schwarz, se as derivadas parciais são contínuas, então a ordem das derivadas mistas é irrelevante, ou seja, Fxy(x,y) = Fyx(x,y). 4. ( ) A derivada mista, primeiro em X e depois em Y de F(x,y) = sen(xy) é Fyx(x,y) = cos(xy) xy sen(xy). Esta afirmativa é falsa. A derivada mista correta deve ser calculada e não é igual a essa expressão. Agora, organizando as respostas: 1. V (considerando a segunda derivada em X) 2. V (considerando a segunda derivada em Y) 3. F (a ordem das derivadas mistas não é relevante se as derivadas são contínuas) 4. F (a expressão dada não está correta) Portanto, a sequência correta é: A V, V, F, F. A alternativa correta é: A.