Um engenherio estra projetando um braço mecanico e precisa determinar um vetor perpendicular ao plano definido por dois vetores de força aplicados, pa

Question

Um engenherio estra projetando um braço mecanico e precisa determinar um vetor perpendicular ao plano definido por dois vetores de força aplicados, para calcular o torque resultante, os vetores de força são representados por u=(1,3,2) e v=(0,4,5). Para obter um vetor perpendicular ao plano definido po u e v, para isso ele calcula o produto vetorial uxv. Qual é o vetor resultante?

Ed · Answer

Para encontrar um vetor perpendicular ao plano definido pelos vetores $ \mathbf{u} = (1, 3, 2) $ e $ \mathbf{v} = (0, 4, 5) $, você deve calcular o produto vetorial $ \mathbf{u} \times \mathbf{v} $.

O produto vetorial é dado pela seguinte fórmula:

$$
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & 3 & 2 \
0 & 4 & 5
\end{vmatrix}
$$

Calculando o determinante, temos:

$$
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i} \begin{vmatrix}
3 & 2 \
4 & 5
\end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix}
1 & 2 \
0 & 5
\end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix}
1 & 3 \
0 & 4
\end{vmatrix}
$$

Calculando cada um dos determinantes:

1. $ \begin{vmatrix}
3 & 2 \
4 & 5
\end{vmatrix} = (3 \cdot 5) - (2 \cdot 4) = 15 - 8 = 7 $

2. $ \begin{vmatrix}
1 & 2 \
0 & 5
\end{vmatrix} = (1 \cdot 5) - (2 \cdot 0) = 5 - 0 = 5 $

3. $ \begin{vmatrix}
1 & 3 \
0 & 4
\end{vmatrix} = (1 \cdot 4) - (3 \cdot 0) = 4 - 0 = 4 $

Substituindo os valores:

$$
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = 7\mathbf{i} - 5\mathbf{j} + 4\mathbf{k}
$$

Portanto, o vetor resultante é:

$$
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (7, -5, 4)
$$

Esse é o vetor perpendicular ao plano definido pelos vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $.

Física

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