Para normalizar a função de onda \( \psi(x) \), precisamos garantir que a integral do módulo quadrado da função de onda ao longo de todo o espaço seja igual a 1. A função de onda dada é: \[ \psi(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0 \\ A e^{-x/2} & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \] O primeiro passo é calcular o módulo quadrado da função de onda: \[ |\psi(x)|^2 = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0 \\ |A|^2 e^{-x} & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \] Agora, integramos \( |\psi(x)|^2 \) de 0 a \( \infty \): \[ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 \, dx = \int_{0}^{\infty} |A|^2 e^{-x} \, dx \] A integral \( \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx \) é igual a 1. Portanto, temos: \[ \int_{0}^{\infty} |A|^2 e^{-x} \, dx = |A|^2 \cdot 1 = |A|^2 \] Para que a função de onda seja normalizada, essa integral deve ser igual a 1: \[ |A|^2 = 1 \] Assim, a constante de normalização \( A \) deve ser: \[ A = 1 \quad \text{ou} \quad A = -1 \] Portanto, a função de onda normalizada é: \[ \psi(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0 \\ e^{-x/2} & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \] Isso garante que a interpretação probabilística da função de onda seja válida.