Para analisar o comportamento assintótico da função \( f(n) = 5n^2 + 3n + 1 \) quando \( n \) é grande, devemos focar no termo de maior grau, que, neste caso, é \( 5n^2 \). Os termos de menor grau (como \( 3n \) e \( 1 \)) tornam-se insignificantes em comparação com \( 5n^2 \) à medida que \( n \) cresce. Portanto, o comportamento assintótico da função é dominado pelo termo \( n^2 \). Agora, analisando as alternativas: a) \( f(n) = O(n) \) - Incorreto, pois \( n^2 \) cresce mais rápido que \( n \). b) \( f(n) = O(n^2) \) - Correto, pois \( 5n^2 \) é o termo dominante. c) \( f(n) = O(n^3) \) - Incorreto, pois \( n^2 \) cresce mais devagar que \( n^3 \). d) \( f(n) = O(\log n) \) - Incorreto, pois \( n^2 \) cresce muito mais rápido que \( \log n \). Portanto, a alternativa correta é: b) f(n) = O(n^2).