O corpo está sobre uma mesa, com a mola presa a uma parede. Vamos escrever a equação diferencial de movimento:

\(M{d^2x\over dt^2}=-kx-b{dx\over dt}\)

Substituindo os parâmetros dados, temos:

\(1,5{d^2x\over dt^2}+0,2096{dx\over dt}+6x=0\)

a) A equação de posições, dada pela solução dessa equação diferencial:

\(x(t) = Ae^{-(b/2m)t}cos(t\sqrt{k/m}+\delta) = Ae^{-0,2096t/3}cos(2 t+\delta)\)

Sabemos que a posição inicial da mola é  \(x_0=12\ cm=0,12\ m\):

\(x(0) =0,12 = Ae^0cos(0+\delta) = A\ cos\ \delta\)

Sabemos ainda que o corpo inicia parado, vamos determinar a expressão da velocidade:

\(v(t) = x'(t) = Ae^{-0,2096t/3}\left[-{0,2096\over3}cos(2 t+\delta)-2sen(2 t+\delta)\right]\)

Para a velocidade iniaical, temos:

\(v(0) = 0 = -{0,2096\over3}A\ cos\ \delta-2A\ sen\ \delta = -{0,2096\over3}\cdot0,12-2A\ sen\ \delta\Rightarrow A\ sen\ \delta = -0,004192\)

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

\(A=\sqrt{A^2sen^2\delta+A^2cos^2\delta}=\sqrt{0,004192^2+0,12^2}\approx0,12\)

Substituindo na primeira equação, temos:

\(0,12\ cos\ \delta=0,12\Rightarrow \delta=0\)

De forma que ficamos com:

\(\boxed{x(t) = 0,12e^{-0,2096t/3}cos(2 t)}\)

b) Para sabermos o número de oscilações, inicialmente vamos determinar o tempo para que isso ocorra:

\(A(t) = 0,12e^{-0,2096t/3} = {1\over3}A(0)\Rightarrow -{0,2096t\over3} = \ln {1\over3}\Rightarrow t\approx 15,72\ s\)

Vamos agora determinar quantas vezes a oscilação passa por um ponto de máximo para sabermos quantas oscilações ocorrem nesse intervalo:

\(cos\ 2t=1\Rightarrow 2t=2k\pi\Rightarrow t=k\pi\in\{3,14;6,28;9,42;12,57;15,70\}\)

Logo são executadas 5 oscilações no intervalo necessário para a amplitude reduzir a 1/3.

c) Para determinarmos a posição no instante dado, basta substituirmos a solução:

\(x(12) = 0,12e^{-0,2096\cdot12/3}cos(2\cdot12)\Rightarrow\boxed{x(12)=0,022\ m = 2,2\ cm}\)