Vamos analisar as informações apresentadas na questão. A função dada é \( f(x,y) = x + y + 2 \) e a região é limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4x \). Para calcular a integral dupla dessa função sobre a região delimitada, precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção das curvas. 1. Encontrando os pontos de interseção: - Igualando \( x^2 = 4x \): \[ x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \implies x = 0 \text{ ou } x = 4 \] - Portanto, os pontos de interseção são \( (0,0) \) e \( (4,16) \). 2. Calculando a integral dupla: - A integral dupla da função \( f(x,y) \) sobre a região entre as curvas é dada por: \[ \int_0^4 \int_{x^2}^{4x} (x + y + 2) \, dy \, dx \] 3. Resolvendo a integral: - Primeiro, integramos em relação a \( y \): \[ \int (x + y + 2) \, dy = xy + \frac{y^2}{2} + 2y \] - Avaliando de \( y = x^2 \) a \( y = 4x \): \[ \left[ x(4x) + \frac{(4x)^2}{2} + 2(4x) \right] - \left[ x(x^2) + \frac{(x^2)^2}{2} + 2(x^2) \right] \] - Simplificando e integrando em relação a \( x \) nos limites de 0 a 4. 4. Resultado da integral: - O resultado da integral é dado como 1664 na descrição da questão. Agora, analisando as opções: I) 15 4736 II) 15 4736 III) 15 1664 IV) 15 A única opção que menciona o resultado correto da integral (1664) é a opção III. Portanto, a alternativa correta é: A) Somente a opção III está correta.