Para determinar o ângulo entre as retas \( r_1 \) e \( r_2 \), precisamos primeiro expressá-las em forma paramétrica e, em seguida, encontrar os vetores diretores de cada reta. 1. Reta \( r_1 \): A equação \( x - 3 = y = 2 + 2 \) pode ser reescrita como: - \( x = 3 + t \) - \( y = 2 + 2t \) - \( z = 0 \) (já que não há componente z) O vetor diretor de \( r_1 \) é \( \vec{d_1} = (1, 2, 0) \). 2. Reta \( r_2 \): A equação \( x = -2 - 2t \), \( y = 3 + t \), \( z = t \) já está em forma paramétrica. O vetor diretor de \( r_2 \) é \( \vec{d_2} = (-2, 1, 1) \). 3. Cálculo do ângulo: O ângulo \( \theta \) entre os vetores diretores pode ser encontrado usando o produto escalar: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} \] - Primeiro, calculamos o produto escalar: \[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (1)(-2) + (2)(1) + (0)(1) = -2 + 2 + 0 = 0 \] - Agora, calculamos as magnitudes: \[ |\vec{d_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5} \] \[ |\vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6} \] - Substituindo na fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}} = 0 \] - Portanto, \( \theta = 90^\circ \). Assim, o ângulo entre as retas \( r_1 \) e \( r_2 \) é de \( 90^\circ \).