mostre que o tringulo com vertices em P(-2,4,0),Q(1,2,-1),e R(-1,1,2) e um triangulo equilatero.

O triângulo é formado pelos seguintes vetores:

(Para construir o vetor, basta fazer as coordenadas de um vetor menos o outro)

PQ = (3, -2, -1)

PR = (1, -3, 2)

RQ = (2, 1, -3)

Então, calcula-se o módulo deles, que seria o comprimento de cada lado do triângulo, usando a seguinte equação:

módulo vetor (x, y, z) = raiz (x² + y² + z²)

Então, 

|PQ| = raiz (9 + 4 + 1) = raiz (14)

|PR| = raiz (1 + 9 + 4) = raiz (14)

|RQ| = raiz (4 + 1 + 9) = raiz (14)

Como todos os lados possuem o mesmo comprimento de raiz (14), o triângulo é equilátero.

Para provarmos que o triangulo é equilatero, basta mostrarmos que as distâncias entre todos os pontos são a mesma :

PQ=QR=RP

\(\begin{align} & dPQ=\sqrt{Q-P} \\ & {{d}_{1}}=\sqrt{{{3}^{2}}+4+1} \\ & {{d}_{1}}=\sqrt{14} \\ & \\ & {{d}_{2}}=QR \\ & {{d}_{2}}=\sqrt{4+1+9} \\ & {{d}_{2}}=\sqrt{14} \\ & \\ & {{d}_{3}}=RP \\ & {{d}_{3}}=\sqrt{1+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}} \\ & {{d}_{3}}=\sqrt{14} \\ \end{align}\)

Como podemos ver, todas as distâncias são as mesmas e com isso , os vértices do triângulo serão os mesmos , ou seja, um triângulo equilátero.