8. Explorando a relevancia da seleção do caminno para calcular limites em funções de várias variáveis, surge a seguinte pergunta: como essa escolha influencia O resultado? Em outras palavras, como podemos garantir a precisão ao determinar limites em contextos multidimensionais? Ao encontrar para caminhos diferentes, resultados diferentes no limite, podemos determinar que o limite da função não existe. Isso ressalta a necessidade de considerar cuidadosamente a escolha do caminho ao calcular limites em funções de várias variáveis. Considerando o limite xy² lim (0,0) 2 avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. O limite da função é zero. PORQUE II. Para os caminhos y = 2x, X = y² e y = X, encontramos O limite igual a zero. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta: A. ( ) As asserções I e II são falsas. B.( ) A asserção I é uma proposição verdadeira, e II é uma proposição falsa. C.( ) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. D.( ) A asserção Ié uma proposição falsa. e a TI

Question

8. Explorando a relevancia da seleção do caminno para calcular limites em funções de várias variáveis, surge a seguinte pergunta: como essa escolha...

Ed · Answer

Vamos analisar as asserções:

I. O limite da função é zero. Para determinar se isso é verdadeiro, precisamos avaliar o limite da função $ f(x, y) = xy^2 $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $.

II. Para os caminhos $ y = 2x $, $ x = y^2 $ e $ y = x $, encontramos o limite igual a zero. Vamos verificar cada caminho:

1. **Caminho $ y = 2x $**:
   $$
   f(x, 2x) = x(2x)^2 = 8x^3 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 0} 8x^3 = 0
   $$

2. **Caminho $ x = y^2 $**:
   $$
   f(y^2, y) = (y^2)y^2 = y^4 \quad \text{e} \quad \lim_{y \to 0} y^4 = 0
   $$

3. **Caminho $ y = x $**:
   $$
   f(x, x) = x(x^2) = x^3 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 0} x^3 = 0
   $$

Em todos os caminhos, o limite é igual a zero. Portanto, a asserção I é verdadeira e a asserção II também é verdadeira, e a II justifica a I.

Assim, a alternativa correta é: C. ( ) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

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