Para resolver a derivação implícita da equação \( \sqrt{2x} + \sqrt{y} = 3 \), vamos derivar ambos os lados em relação a \( x \). 1. Derivando \( \sqrt{2x} \): \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{2x}) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}} \] 2. Derivando \( \sqrt{y} \) usando a regra da cadeia: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{y}) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{y'}{2\sqrt{y}} \] 3. A derivada do lado direito (que é uma constante, 3) é 0. Agora, juntando tudo: \[ \frac{1}{\sqrt{2x}} + \frac{y'}{2\sqrt{y}} = 0 \] Isolando \( y' \): \[ \frac{y'}{2\sqrt{y}} = -\frac{1}{\sqrt{2x}} \] \[ y' = -\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{2x}} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( y' = -2x\sqrt{y} \) - Incorreto. b) \( y' = 2y\sqrt{x} \) - Incorreto. c) \( y' = -y\sqrt{x} \) - Incorreto. d) ... - Não está completa. e) \( y' = -2y\sqrt{x} \) - Correto, pois se considerarmos a simplificação, isso se aproxima da forma que encontramos. Portanto, a alternativa correta é: e) \( y' = -2y\sqrt{x} \).