Equações diferenciais não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes surgem frequentemente na modelagem de sistemas físicos sujeitos a forças externas variáveis, como deslocamentos forçados ou variações de temperatura ao longo do tempo.

Considere a seguinte equação diferencial y'' - 6y' + 9y = 3x + 2.

Essa é uma equação não homogênea com segundo membro polinomial. Para resolver esse tipo de equação, o procedimento padrão é:

Passo 1: Resolver a equação homogênea associada y'' - 6y' + 9y = 0, obtendo a solução geral yh(x).

Passo 2: Determinar uma solução particular yp(x) da equação completa. Como o segundo membro é um polinômio de grau 1 (3x + 2), tenta-se uma solução particular também polinomial da forma: yp(x) = Ax + B.

Se algum termo de yp(x) também for solução da homogênea, multiplica-se por x para evitar redundância.Com base nisso, resolva:

a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.

b) Determine uma solução particular da equação não homogênea.

c) Encontre a solução geral da equação completa.

d) Determine a solução que satisfaz o seguinte problema de valor inicial (PVI), y(0) = 1, y'(0) = 0.