Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada: \[ (x + x^3)dx + ydy = 0 \] Podemos reescrever a equação como: \[ (x + x^3)dx = - ydy \] Dividindo ambos os lados por \(y\) e \(x + x^3\), obtemos: \[ \frac{dx}{y} = -\frac{dy}{x + x^3} \] Agora, podemos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo em relação a \(y\) e do lado direito em relação a \(x\) nos dará a solução da EDO. Após realizar as integrais e simplificações, a solução geral da EDO pode ser expressa na forma: \[ y(x) = -\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \(y(x) = -\frac{x^4}{4} + C\) - Não está correta, pois falta o termo \(-\frac{x^2}{2}\). b) \(y(x) = -\frac{x^4}{4} + C\) - Novamente, não está correta pela mesma razão. c) \(y(x) = -4x^2 - x^4 + C\) - Não está correta, pois os coeficientes estão errados. d) \(2x^3 + y(x) = -x^2 - 2 + C\) - Não está correta, pois não corresponde à forma da solução. e) \(y(x) = -\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C\) - Esta é a forma correta da solução. Portanto, a alternativa correta é a e).