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Como encontro o centro e o raio da esfera, representada por essa equação 4x^2 +4y^2 +4z^2 − 24x − 4y + 8z − 23 = 0 ?


7 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Reescrevendo a equação, tem-se que:

\(\Longrightarrow 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 24x - 4y + 8z - 23 = 0\)

\(\Longrightarrow (4x^2-24x) +( 4y^2 - 4y) + (4z^2 + 8z) - 23 = 0\)

\(\Longrightarrow 4(x^2-6x) +4(y^2 - y) + 4(z^2 + 2z) - 23 = 0\)


Agora, vamos manipular a equação de modo a simplificá-la. Com isso, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow 4[(x^2-6x+9)-9] +4[(y^2 - y+0,25)-0,25] + 4[(z^2 + 2z+1)-1] - 23 = 0\)

\(\Longrightarrow 4(x^2-6x+9)-4\cdot 9 +4(y^2 - y+0,25)-4 \cdot 0,25 + 4(z^2 + 2z+1)-4 \cdot 1 - 23 = 0\)

\(\Longrightarrow 4(x-3)^2-36 +4(y-0,5)^2-1 + 4(z+1)^2-4 - 23 = 0\)

\(\Longrightarrow 4(x-3)^2 +4(y-0,5)^2 + 4(z+1)^2 = 64 \)

\(\Longrightarrow (x-3)^2 +(y-0,5)^2 + (z+1)^2 = 16\)

\(\Longrightarrow (x-3)^2 +(y-0,5)^2 + (z+1)^2 = 4^2\)


Considerando uma esfera de centro \((x_0,y_0,z_0)\) e raio \(r \), sua equação geral é \((x-x_0)^2 +(y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2\). Portanto, considerando a equação resultante, o centro e o raio do exercício é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} (x_0,y_0,z_0)=(3;0,5;-1) \\ r=4 \end{matrix} \right. $}\)

Reescrevendo a equação, tem-se que:

\(\Longrightarrow 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 24x - 4y + 8z - 23 = 0\)

\(\Longrightarrow (4x^2-24x) +( 4y^2 - 4y) + (4z^2 + 8z) - 23 = 0\)

\(\Longrightarrow 4(x^2-6x) +4(y^2 - y) + 4(z^2 + 2z) - 23 = 0\)


Agora, vamos manipular a equação de modo a simplificá-la. Com isso, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow 4[(x^2-6x+9)-9] +4[(y^2 - y+0,25)-0,25] + 4[(z^2 + 2z+1)-1] - 23 = 0\)

\(\Longrightarrow 4(x^2-6x+9)-4\cdot 9 +4(y^2 - y+0,25)-4 \cdot 0,25 + 4(z^2 + 2z+1)-4 \cdot 1 - 23 = 0\)

\(\Longrightarrow 4(x-3)^2-36 +4(y-0,5)^2-1 + 4(z+1)^2-4 - 23 = 0\)

\(\Longrightarrow 4(x-3)^2 +4(y-0,5)^2 + 4(z+1)^2 = 64 \)

\(\Longrightarrow (x-3)^2 +(y-0,5)^2 + (z+1)^2 = 16\)

\(\Longrightarrow (x-3)^2 +(y-0,5)^2 + (z+1)^2 = 4^2\)


Considerando uma esfera de centro \((x_0,y_0,z_0)\) e raio \(r \), sua equação geral é \((x-x_0)^2 +(y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2\). Portanto, considerando a equação resultante, o centro e o raio do exercício é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} (x_0,y_0,z_0)=(3;0,5;-1) \\ r=4 \end{matrix} \right. $}\)

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Leonardo

Há mais de um mês

tente completar quadrados, assim vc deixa a equação com a cara (x-a)² +(y-b)²+(z-c)²=0

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Rafael

Há mais de um mês

x= -1, y = 1/2 , z = -1

ou

x= 7 , y = 1/2 , z = -1

 

N é o melhor caminho n mas ... sabendo usar da pra aprender com a ferramenta... dica investir na versão pro. http://www.wolframalpha.com/input/?i=4x%5E2+%2B4y%5E2+%2B4z%5E2+%E2%88%92+24x+%E2%88%92+4y+%2B+8z+%E2%88%92+23+%3D+0     https://drive.google.com/file/d/0B0DEBrNTwapLdTM0X0pISndhQ0k/view?usp=sharing

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas