O valor de m, mEIR, para que a equação x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + x + 8y + m = 0 represente uma superfície esférica de raio igual a 4 é:

Para que a equação \(x^2 + y^2 + z^2 + x + 8y + m = 0\) represente uma superfície esférica, ela deve estar na forma padrão da equação da esfera, que é \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2\), onde \((x_0, y_0, z_0)\) é o centro da esfera e \(r\) é o raio. Primeiro, vamos completar o quadrado para as variáveis \(x\) e \(y\): 1. Para \(x^2 + x\): \[ x^2 + x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \] 2. Para \(y^2 + 8y\): \[ y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16 \] Substituindo na equação original, temos: \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + (y + 4)^2 - 16 + z^2 + m = 0 \] Simplificando: \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + (y + 4)^2 + z^2 + m - \frac{1}{4} - 16 = 0 \] \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + (y + 4)^2 + z^2 + m - \frac{65}{4} = 0 \] Para que essa equação represente uma esfera de raio 4, precisamos que: \[ m - \frac{65}{4} = -16 \quad \text{(porque } r^2 = 4^2 = 16\text{)} \] Resolvendo para \(m\): \[ m = -16 + \frac{65}{4} \] \[ m = -\frac{64}{4} + \frac{65}{4} = \frac{1}{4} \] Portanto, o valor de \(m\) é \(\frac{1}{4}\).