Determine o valor de �9+n + p), sabendo que → e v(−1,0,2) →u x →v = (8,n,n−p) , n e p reais.

Para resolver a questão, precisamos usar a propriedade do produto vetorial. Dado que \( \vec{u} \times \vec{v} = (8, n, n - p) \) e \( \vec{v} = (-1, 0, 2) \), precisamos encontrar um vetor \( \vec{u} \) que satisfaça essa equação. Vamos considerar \( \vec{u} = (a, b, c) \). O produto vetorial \( \vec{u} \times \vec{v} \) é dado por: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & b & c \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \hat{i}(b \cdot 2 - c \cdot 0) - \hat{j}(a \cdot 2 - c \cdot (-1)) + \hat{k}(a \cdot 0 - b \cdot (-1)) \] Isso resulta em: \[ \vec{u} \times \vec{v} = (2b, -2a - c, b) \] Igualando isso a \( (8, n, n - p) \), obtemos o seguinte sistema de equações: 1. \( 2b = 8 \) → \( b = 4 \) 2. \( -2a - c = n \) 3. \( b = n - p \) Substituindo \( b = 4 \) na terceira equação: \[ 4 = n - p \quad \Rightarrow \quad n = 4 + p \] Agora, substituindo \( b = 4 \) na segunda equação: \[ -2a - c = n \quad \Rightarrow \quad -2a - c = 4 + p \] Agora temos duas equações: 1. \( n = 4 + p \) 2. \( -2a - c = 4 + p \) Para determinar \( 9 + n + p \): Substituindo \( n \): \[ 9 + n + p = 9 + (4 + p) + p = 9 + 4 + 2p = 13 + 2p \] Portanto, o valor de \( 9 + n + p \) depende do valor de \( p \). Se precisar de um valor específico, você precisaria de mais informações sobre \( p \).