Para aproximar la integral de \( f(x) = e^x \) desde 0.3 hasta 1.1 utilizando el Método de Simpson, primero necesitamos los valores de \( f(x) \) en los puntos dados: - \( f(0.3) = 1.350 \) - \( f(0.5) = 1.649 \) - \( f(0.7) = 2.014 \) - \( f(0.9) = 2.460 \) - \( f(1.1) = 3.004 \) El Método de Simpson se aplica en intervalos de dos puntos. En este caso, dividimos el intervalo en dos partes: de 0.3 a 0.9 y de 0.9 a 1.1. La fórmula del Método de Simpson es: \[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left( f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right) \] Donde \( h = \frac{b-a}{n} \) y \( n \) es el número de subintervalos (en este caso, 2). 1. Para el primer intervalo de 0.3 a 0.9: - \( a = 0.3 \) - \( b = 0.9 \) - \( h = \frac{0.9 - 0.3}{2} = 0.3 \) - \( f(0.3) = 1.350 \) - \( f(0.9) = 2.460 \) - \( f(0.6) = f(0.5) = 1.649 \) (usamos el valor en el medio) Entonces, la integral aproximada es: \[ \int_{0.3}^{0.9} f(x) \, dx \approx \frac{0.3}{3} \left( 1.350 + 4(1.649) + 2.460 \right) \] Calculando: \[ \int_{0.3}^{0.9} f(x) \, dx \approx \frac{0.3}{3} \left( 1.350 + 6.596 + 2.460 \right) = \frac{0.3}{3} \left( 10.406 \right) = 1.0406 \] 2. Para el segundo intervalo de 0.9 a 1.1: - \( a = 0.9 \) - \( b = 1.1 \) - \( h = \frac{1.1 - 0.9}{2} = 0.1 \) - \( f(0.9) = 2.460 \) - \( f(1.1) = 3.004 \) - \( f(1.0) \) (aproximado) = \( e^1 \approx 2.718 \) Entonces, la integral aproximada es: \[ \int_{0.9}^{1.1} f(x) \, dx \approx \frac{0.1}{3} \left( 2.460 + 4(2.718) + 3.004 \right) \] Calculando: \[ \int_{0.9}^{1.1} f(x) \, dx \approx \frac{0.1}{3} \left( 2.460 + 10.872 + 3.004 \right) = \frac{0.1}{3} \left( 16.336 \right) \approx 0.5445 \] Finalmente, sumamos ambas integrales: \[ \int_{0.3}^{1.1} f(x) \, dx \approx 1.0406 + 0.5445 \approx 1.5851 \] Por lo tanto, la integral aproximada de \( \int_{0.3}^{1.1} e^x \, dx \) utilizando el Método de Simpson es aproximadamente \( 1.5851 \).