Para calcular a área entre as curvas das funções \( f(x) = x^2 \) e \( g(x) = \sqrt{x} \) no intervalo de 0 a 1, precisamos primeiro determinar qual função é a superior e qual é a inferior nesse intervalo. 1. Identificação das funções: - \( f(x) = x^2 \) - \( g(x) = \sqrt{x} \) 2. Comparação das funções: - Para \( x = 0 \): \( f(0) = 0^2 = 0 \) e \( g(0) = \sqrt{0} = 0 \) - Para \( x = 1 \): \( f(1) = 1^2 = 1 \) e \( g(1) = \sqrt{1} = 1 \) - Para \( 0 < x < 1 \), podemos verificar que \( g(x) = \sqrt{x} \) é sempre maior que \( f(x) = x^2 \). 3. Cálculo da área: A área entre as curvas é dada pela integral da função superior menos a função inferior: \[ \text{Área} = \int_0^1 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) \, dx \] 4. Cálculo da integral: \[ \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) \, dx = \int_0^1 \sqrt{x} \, dx - \int_0^1 x^2 \, dx \] - A integral de \( \sqrt{x} \) é \( \frac{2}{3} x^{3/2} \) avaliada de 0 a 1, que resulta em \( \frac{2}{3} \). - A integral de \( x^2 \) é \( \frac{1}{3} x^3 \) avaliada de 0 a 1, que resulta em \( \frac{1}{3} \). Portanto: \[ \text{Área} = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \] 5. Interpretação: A função \( g(x) = \sqrt{x} \) é a função superior e \( f(x) = x^2 \) é a função inferior no intervalo de 0 a 1. A área entre as curvas representa a diferença total de emissão entre as duas indústrias nesse período. Assim, a resposta correta é: B: \(\int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) \, dx = \frac{1}{3}\), pois a função \(\sqrt{x}\) é maior que \(x^2\) nesse intervalo.