Para encontrar o comprimento da elipse dada pela equação \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), podemos usar a integral que representa o perímetro da elipse. A fórmula geral para o comprimento de uma elipse envolve a integral de uma função que representa a forma da elipse. Analisando as alternativas: 1. 4a ∫₀^a √(a² - x²) dx - Esta integral representa a área de um quarto da elipse, mas não é a forma correta para o perímetro. 2. 4b a ∫₀^a √(1/a² - x²) dx - Esta integral não está correta para o perímetro da elipse. 3. 4a ∫₀^a √(a⁴ - x²b²) dx - Esta integral não representa corretamente o perímetro da elipse. 4. 4a ∫₀^a √(a⁴ - c²x²)/(a² - x²) dx - Esta integral não é a forma correta para o perímetro da elipse. 5. 4b a ∫₀^a √(x²/(a² - x²)) dx - Esta integral não representa o perímetro da elipse. A integral correta para o comprimento da elipse é geralmente expressa como: \[ P = 4a \int_0^b \sqrt{1 - \left(\frac{y}{b}\right)^2} dy \] No entanto, a opção que mais se aproxima do que se espera para o perímetro da elipse, considerando a forma correta da integral, é a primeira alternativa. Portanto, a resposta correta é: 4a ∫₀^a √(a² - x²) dx.