Dado o vetor u = (1,-3), determinar o vetor w paralelo á u que tenha : b) O mesmo sentido de u e modulo 2. Resp: w = (2/raiz10, 6/raiz10)

Tomando o vetor u e calculando o versor deste, obteremos um vetor paralelo a u  e com módulo unitário. Este vetor é (1/raiz10, -3/raiz10).

Para que o  módulo deste seja dois, basta multiplicarmos o mesmo por 2. Desta forma obtém-se o vetor w=(2/raiz10, -6/raiz10)

O mesmo se aplica ao outro item. 

b)

Neste exercício, será determinado o vetor \(\overrightarrow w=(w_i;w_j)\) que seja paralelo e tenha mesmo sentido em relação ao vetor \(\overrightarrow u=(1,-3)\). Além disso, seu módulo deve ser \(|\overrightarrow w|=2\).

Para que \(\overrightarrow w\) seja paralelo em relação a \(\overrightarrow u\), as coordenadas do eixo i devem ser diretamente proporcionais às coordenadas ao eixo j. Ou seja, as coordenadas devem obedecer à seguinte relação:

\(\Longrightarrow {u_i \over w_i} = {u_j \over w_j}\)

Sendo \(u_i=1\) e \(u_j=-3\), a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow {1 \over w_i} = {-3 \over w_j}\)

\(\Longrightarrow {w_j \over w_i} = {-3 \over 1}\)

\(\Longrightarrow w_j= -3w_i\)    \((I)\)

Além disso, sabe-se que o módulo de \(\overrightarrow w\) deve ser igual a 2. Portanto, pode-se escrever a seguinte equação:

\(\Longrightarrow|\overrightarrow w|=\sqrt{ w^2_i + w^2_j}\)

\(\Longrightarrow 2=\sqrt{ w^2_i + w^2_j}\)     \((II)\)

Substituindo a equação \((I)\) na equação \((II)\), o valor de \(w_i\) é:

\(\Longrightarrow 2=\sqrt{ w^2_i + (-3w_i)^2}\)

\(\Longrightarrow 2=\sqrt{ w^2_i + 9w_i^2}\)

\(\Longrightarrow 2=\sqrt{10w_i^2}\)

\(\Longrightarrow 2=\sqrt{10}w_i\)

\(\Longrightarrow w_i = {2 \over \sqrt{10}}\)

Substituindo o valor de \(w_i\) na equação \((I)\), o valor de \(w_j\) é:

\(\Longrightarrow w_j= -3{2 \over \sqrt{10}}\)

\(\Longrightarrow w_j= -{6 \over \sqrt{10}}\)

Portanto, neste caso, o vetor \(\overrightarrow w=(w_i;w_j)\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \overrightarrow w=({2 \over \sqrt{10}}; -{6 \over \sqrt{10}}) $}\)

c)

Neste exercício, será determinado o vetor \(\overrightarrow w=(w_i;w_j)\) que seja paralelo e tenha sentido contrário em relação ao vetor \(\overrightarrow u=(1,-3)\). Além disso, seu módulo deve ser \(|\overrightarrow w|=4\).

Para que \(\overrightarrow w\) seja paralelo em relação a \(\overrightarrow u\), as coordenadas do eixo i devem ser diretamente proporcionais às coordenadas ao eixo j. Ou seja, as coordenadas devem obedecer à seguinte relação:

\(\Longrightarrow {u_i \over w_i} = {u_j \over w_j}\)

Sendo \(u_i=1\) e \(u_j=-3\), a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow {1 \over w_i} = {-3 \over w_j}\)

\(\Longrightarrow {w_j \over w_i} = {-3 \over 1}\)

\(\Longrightarrow w_j= -3w_i\)    \((III)\)

Além disso, sabe-se que o módulo de \(\overrightarrow w\) deve ser igual a 4. Portanto, pode-se escrever a seguinte equação:

\(\Longrightarrow|\overrightarrow w|=\sqrt{ w^2_i + w^2_j}\)

\(\Longrightarrow 4=\sqrt{ w^2_i + w^2_j}\)     \((IV)\)

Substituindo a equação \((III)\) na equação \((IV)\), o valor de \(w_i\) é:

\(\Longrightarrow 4=\sqrt{ w^2_i + (-3w_i)^2}\)

\(\Longrightarrow 4=\sqrt{ w^2_i + 9w_i^2}\)

\(\Longrightarrow 4=\sqrt{10w_i^2}\)

\(\Longrightarrow 4=\sqrt{10}w_i\)

\(\Longrightarrow w_i = {4 \over \sqrt{10}}\)

Substituindo o valor de \(w_i\) na equação \((III)\), o valor de \(w_j\) é:

\(\Longrightarrow w_j= -3{4 \over \sqrt{10}}\)

\(\Longrightarrow w_j= -{12 \over \sqrt{10}}\)

Como o vetor \(\overrightarrow w\) deve ter sentido contrário ao vetor \(\overrightarrow u\), o vetor \(\overrightarrow w\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \overrightarrow w=(-w_i;-w_j)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \overrightarrow w=(-{4 \over \sqrt{10}};{12 \over \sqrt{10}}) $}\)