Determine o valor de A 30 1 ∫ 3 1 ∫ −1 2 ∫ 0 (x +2y−3z)dxdydz

Para resolver la integral triple \( A = \int_{1}^{3} \int_{1}^{2} \int_{0}^{30} (x + 2y - 3z) \, dx \, dy \, dz \), sigamos los pasos: 1. **Integrar respecto a \( x \)**: \[ \int (x + 2y - 3z) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2yx - 3zx + C \] Evaluamos de \( 0 \) a \( 30 \): \[ \left[ \frac{30^2}{2} + 2y(30) - 3z(30) \right] - \left[ \frac{0^2}{2} + 2y(0) - 3z(0) \right] \] \[ = 450 + 60y - 90z \] 2. **Integrar respecto a \( y \)**: Ahora integramos \( 450 + 60y - 90z \) respecto a \( y \) de \( 1 \) a \( 2 \): \[ \int (450 + 60y - 90z) \, dy = 450y + 30y^2 - 90zy + C \] Evaluamos de \( 1 \) a \( 2 \): \[ \left[ 450(2) + 30(2^2) - 90z(2) \right] - \left[ 450(1) + 30(1^2) - 90z(1) \right] \] \[ = (900 + 120 - 180z) - (450 + 30 - 90z) \] \[ = 900 + 120 - 180z - 450 - 30 + 90z = 540 + 90 - 90z = 540 + 90 - 90z \] \[ = 540 + 90 - 90z = 540 + 90 - 90z \] 3. **Integrar respecto a \( z \)**: Ahora integramos \( 540 + 90 - 90z \) respecto a \( z \) de \( 1 \) a \( 2 \): \[ \int (540 + 90 - 90z) \, dz = 540z + 90z - 45z^2 + C \] Evaluamos de \( 1 \) a \( 2 \): \[ \left[ 540(2) + 90(2) - 45(2^2) \right] - \left[ 540(1) + 90(1) - 45(1^2) \right] \] \[ = (1080 + 180 - 180) - (540 + 90 - 45) \] \[ = 1080 - 540 + 180 - 90 + 45 = 540 + 135 = 675 \] Por lo tanto, el valor de \( A \) es \( 675 \).