A velocidade \(v(t)\) da partícula em função do tempo é:

\(\Longrightarrow v(t) = \cos(2 \pi t)\)

Como \(v(t)\) é a derivada da posição \(s(t)\), a função \(s(t)\) é:

\(\Longrightarrow {d s(t) \over dt} = v(t) \)

\(\Longrightarrow d s(t) = v(t) \, dt\)

\(\Longrightarrow \int \limits_0^t d s(\zeta) = \int \limits_0^t v(\zeta) \, d\zeta\)

\(\Longrightarrow s(t)-s(0)= \int \limits_0^t \cos(2 \pi \zeta) \, d\zeta\)

\(\Longrightarrow s(t)- s_0= {1 \over 2 \pi }\sin(2 \pi \zeta) \bigg | _0^t\)

\(\Longrightarrow s(t)= s_0+ {1 \over 2 \pi } \Big [ \sin(2 \pi t) - \sin( 2\pi 0) \Big ] \)

\(\Longrightarrow s(t)= s_0+ {1 \over 2 \pi } \Big [ \sin(2 \pi t) - 0 \Big ] \)

\(\Longrightarrow s(t)= s_0+ {1 \over 2 \pi }\sin(2 \pi t)\)

De acordo com o enunciado, a posição inicial da partícula (ou seja, no instante \(t=0\)) é \(s(0) = 5 \, \mathrm {cm}\) em relação à origem. Então, o valor de \(s_0\) é:

\(\Longrightarrow s(0)= s_0+ {1 \over 2 \pi }\sin(2 \pi 0)\)

\(\Longrightarrow 5= s_0+ {1 \over 2 \pi } \cdot 0\)

\(\Longrightarrow s_0 = 5 \, \mathrm {cm}\)

Portanto, a função completa da posição \(s(t)\) é:

 \(\Longrightarrow s(t)= 5+ {1 \over 2 \pi }\sin(2 \pi t)\)

Finalmente, a posição da partícula no instante \(t={1 \over 3} \, \mathrm {s}\) é:

\(\Longrightarrow s({1 \over 3})= 5+ {1 \over 2 \pi }\sin(2 \pi \cdot {1 \over 3})\)

\(\Longrightarrow s({1 \over 3})= 5+ {1 \over 2 \pi }\cdot { \sqrt{3} \over 2}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ s({1 \over 3})= 5,138 \, \mathrm{cm} $}\)