Questão 10/10 - Transformadas: Tempo Contínuo e Discreto Ler em voz alta A Transformada Z é uma ferramenta essencial para a análise de sistemas dinâmi

Question

Questão 10/10 - Transformadas: Tempo Contínuo e Discreto Ler em voz alta A Transformada Z é uma ferramenta essencial para a análise de sistemas dinâmicos discretos, como o controle de vibrações em estruturas ou a modelagem de sistemas de controle digital. Um exemplo comum é a análise de um sistema de amortecimento de vibrações em uma estrutura mecânica, onde a resposta do sistema a uma entrada discreta (como uma força aplicada em intervalos de tempo específicos) pode ser modelada por equações de diferenças. A Transformada Z permite converter essas equações de diferenças em equações algébricas, facilitando a resolução e a análise do comportamento do sistema. Considere um sistema mecânico de amortecimento de vibrações, onde a resposta do sistema y[n] a uma força de entrada discreta x[n] é dada pela seguinte equação de diferenças: y [ n ] − 1.5 y [ n − 1 ] + 0.5 y [ n − 2 ] = x [ n ] y [ n ] − 1.5 y [ n − 1 ] + 0.5 y [ n − 2 ] = x [ n ] A força de entrada x[n] é um impulso unitário, ou seja, x [ n ] = δ [ n ] x [ n ] = δ [ n ] , onde: δ [ n ] = { 1 , se n = 0 0 , se n ≠ 0 δ [ n ] = { 1 , se n = 0 0 , se n ≠ 0 Aplique a Transformada Z na equação de diferenças para encontrar a expressão de Y(z) , onde Y ( z ) = Z { y [ n ] } Y ( z ) = Z { y [ n ] } Utilize a tabela de Transformadas Z para encontrar a resposta do sistema y[n] no domínio do tempo. Utilize: Z { y [ n − k ] } = z − k Y ( z ) Z { δ [ n ] } = 1 Z { z z − a } = a n Z { y [ n − k ] } = z − k Y ( z ) Z { δ [ n ] } = 1 Z { z z − a } = a n . A y [ n ] = 2 − ( 0.5 ) n y [ n ] = 2 − ( 0.5 ) n B y [ n ] = 2 − 2 ⋅ ( 0.5 ) n y [ n ] = 2 − 2 ⋅ ( 0.5 ) n C y [ n ] = 2 − 0.5 ⋅ ( 2 ) n y [ n ] = 2 − 0.5 ⋅ ( 2 ) n D y [ n ] = 2 + 2 ⋅ ( 0.5 ) n y [ n ] = 2 + 2 ⋅ ( 0.5 ) n

Ed · Answer

Para resolver a equação de diferenças dada e encontrar a resposta do sistema $ y[n] $ no domínio do tempo, vamos aplicar a Transformada Z na equação:

A equação de diferenças é:
$$ y[n] - 1.5y[n-1] + 0.5y[n-2] = x[n] $$

Substituindo $ x[n] $ por $ \delta[n] $ (impulso unitário), temos:
$$ y[n] - 1.5y[n-1] + 0.5y[n-2] = \delta[n] $$

Aplicando a Transformada Z:
$$ Y(z) - 1.5z^{-1}Y(z) + 0.5z^{-2}Y(z) = 1 $$

Fatorando $ Y(z) $:
$$ Y(z)(1 - 1.5z^{-1} + 0.5z^{-2}) = 1 $$

Isolando $ Y(z) $:
$$ Y(z) = \frac{1}{1 - 1.5z^{-1} + 0.5z^{-2}} $$

Multiplicando o numerador e o denominador por $ z^2 $:
$$ Y(z) = \frac{z^2}{z^2 - 1.5z + 0.5} $$

Agora, precisamos fatorar o denominador $ z^2 - 1.5z + 0.5 $ para encontrar as raízes. Usando a fórmula quadrática:
$$ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
onde $ a = 1, b = -1.5, c = 0.5 $:
$$ z = \frac{1.5 \pm \sqrt{(-1.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1} $$
$$ z = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 2}}{2} $$
$$ z = \frac{1.5 \pm \sqrt{0.25}}{2} $$
$$ z = \frac{1.5 \pm 0.5}{2} $$

As raízes são:
$$ z_1 = 1 \quad \text{e} \quad z_2 = 0.5 $$

A resposta do sistema no domínio do tempo pode ser obtida pela Transformada Inversa de Z. A forma geral da resposta é:
$$ y[n] = A \cdot (1)^n + B \cdot (0.5)^n $$

Para determinar $ A $ e $ B $, consideramos as condições iniciais. Para um impulso unitário, a resposta do sistema é:
$$ y[n] = 2 - (0.5)^n $$

Assim, a alternativa correta é:
**A) $ y[n] = 2 - (0.5)^n $**.

Análise de Sinais e Sistemas

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