Cálculo diferencial

a) t = 2
N(2) = 200.log3(1+2) = 200.log3(3)
Por propriedade, o log de 3 na base 3 é 1. Sendo assim:
N(2) = 200.1 = 200
O número de peças produzidas no segundo mês é 200.

b) O dobro de N(2) é 200.2, ou seja, 400. Portanto:
400 = 200.log3(1+t)
log3(1+t) = 400/200
log3(1+t) = 2
Assim:
3² = 1+t
9 = 1+t
t = 9-1
t = 8

Conferindo: 
N(8) = 200.log3(1 +8)
N(8) = 200.log3(9)

Obs:
log3(9) = x
3^x = 9
3^x = 3²
Logo, x = 2 ou (log3(9) = 2)

Retornando à expressão:
N(8) = 200.log3(9)
N(8) = 200.2
N(8) = 400

As respostas são equivalentes, portanto, quando t = 8, após seis meses, a produção dobra em relação ao segundo mês.

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a) Calcularemos o número de peças produzidas:

\(\begin{align} & N\left( T \right)=200\text{ log}_{3}^{{}}\text{ }(1\text{ }+\text{ }T) \\ & N\left( T \right)=200\text{ log}_{3}^{{}}\text{ }(1\text{ }+2) \\ & N\left( T \right)=200\text{ log}_{3}^{{}}\text{ }(3) \\ & N(T)=200 \\ \end{align}\)

b) Calcularemos o tempo necessário para dobrar a produção:

\(\begin{align} & N\left( T \right)=200\text{ log}_{3}^{{}}(1\text{ }+\text{ }T) \\ & 400=200\text{ log}_{3}^{{}}(1\text{ }+T) \\ & 2=\text{log}_{3}^{{}}(1+T) \\ & 1+T=9 \\ & T=9-1 \\ & T=8 \\ \end{align}\)