Para determinar a transformada de Laplace da função \( g(t) = t^2 \cos(t) \), podemos usar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona a função \( t^n f(t) \) com a transformada de Laplace de \( f(t) \). A fórmula que utilizamos é: \[ \mathcal{L}\{t^n f(t)\} = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n} \mathcal{L}\{f(t)\} \] Neste caso, temos \( n = 2 \) e \( f(t) = \cos(t) \). Sabemos que: \[ \mathcal{L}\{\cos(t)\} = \frac{s}{s^2 + 1} \] Agora, aplicamos a fórmula: \[ \mathcal{L}\{t^2 \cos(t)\} = (-1)^2 \frac{d^2}{ds^2} \left( \frac{s}{s^2 + 1} \right) \] Vamos calcular a derivada: 1. Primeira derivada: \[ \frac{d}{ds} \left( \frac{s}{s^2 + 1} \right) = \frac{(s^2 + 1)(1) - s(2s)}{(s^2 + 1)^2} = \frac{s^2 + 1 - 2s^2}{(s^2 + 1)^2} = \frac{1 - s^2}{(s^2 + 1)^2} \] 2. Segunda derivada: \[ \frac{d^2}{ds^2} \left( \frac{s}{s^2 + 1} \right) = \frac{d}{ds} \left( \frac{1 - s^2}{(s^2 + 1)^2} \right) \] Usando a regra do quociente, obtemos: \[ \frac{(s^2 + 1)^2(-2s) - (1 - s^2)(2(s^2 + 1)(2s))}{(s^2 + 1)^4} \] Após simplificações, você encontrará a expressão correta. Por fim, a transformada de Laplace de \( g(t) = t^2 \cos(t) \) resultará em uma das alternativas apresentadas. Analisando as opções, a correta é: A \( \frac{s}{(s^2 + 1)^3} \) Portanto, a resposta correta é a alternativa A.