Questão 11 O método de Lagrange utiliza polinômios de base de lagrange para construir o polinômio interpolador. Nesse sentido, considere o conjunt...

Para encontrar o polinômio interpolador de Lagrange \( P(x) \) para os pontos dados (0,1), (1,3) e (2,5), utilizamos a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange: \[ P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x) \] onde \( L_i(x) \) é a base de Lagrange dada por: \[ L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \] Para os pontos (0,1), (1,3) e (2,5): 1. Para \( i = 0 \) (ponto (0,1)): \[ L_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2} \] 2. Para \( i = 1 \) (ponto (1,3)): \[ L_1(x) = \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} = - (x)(x-2) = -x^2 + 2x \] 3. Para \( i = 2 \) (ponto (2,5)): \[ L_2(x) = \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} = \frac{(x)(x-1)}{2} \] Agora, substituímos os valores de \( y_i \): \[ P(x) = 1 \cdot L_0(x) + 3 \cdot L_1(x) + 5 \cdot L_2(x) \] Calculando cada termo: 1. \( 1 \cdot L_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{2} \) 2. \( 3 \cdot L_1(x) = 3(-x^2 + 2x) = -3x^2 + 6x \) 3. \( 5 \cdot L_2(x) = 5 \cdot \frac{(x)(x-1)}{2} = \frac{5x^2 - 5x}{2} \) Somando tudo e simplificando, encontramos o polinômio interpolador. Após realizar os cálculos, o polinômio interpolador que corresponde aos dados é: Alternativa correta: B. 5 - 3x + x².