Para calcular o módulo do produto vetorial \( \vec{u} \times \vec{v} \), utilizamos a fórmula: \[ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin(\theta) \] onde \( \theta \) é o ângulo entre os vetores. No entanto, podemos calcular o produto vetorial diretamente usando a regra de Sarrus ou determinantes. Os vetores são: \[ \vec{u} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k} \] \[ \vec{v} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k} \] O produto vetorial \( \vec{u} \times \vec{v} \) é dado por: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \hat{i}(2 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - \hat{j}(1 \cdot 4 - 0 \cdot 3) + \hat{k}(1 \cdot 0 - 2 \cdot 3) \] \[ = \hat{i}(8) - \hat{j}(4) - \hat{k}(6) \] \[ = 8\hat{i} - 4\hat{j} - 6\hat{k} \] Agora, para encontrar o módulo: \[ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + (-6)^2} \] \[ = \sqrt{64 + 16 + 36} \] \[ = \sqrt{116} \] Portanto, o módulo do produto vetorial \( \vec{u} \times \vec{v} \) é \( \sqrt{116} \). A alternativa correta é: d) \( \sqrt{116} \).