considerando e equação geral quádricas Ax²+by²+cz²+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+j=0, para que o valor de j a quádrica passa pela origem?

Para que a quádica dada pela equação geral \( Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + j = 0 \) passe pela origem, é necessário que as coordenadas \( (x, y, z) = (0, 0, 0) \) satisfaçam a equação. Substituindo \( x = 0 \), \( y = 0 \) e \( z = 0 \) na equação, temos: \[ A(0)^2 + B(0)^2 + C(0)^2 + D(0)(0) + E(0)(0) + F(0)(0) + G(0) + H(0) + I(0) + j = 0 \] Isso simplifica para: \[ j = 0 \] Portanto, para que a quádica passe pela origem, o valor de \( j \) deve ser igual a zero.