Para resolver o sistema de congruências: 1. \( x \equiv 1 \mod 3 \) 2. \( x \equiv 2 \mod 5 \) 3. \( x \equiv 3 \mod 7 \) Vamos resolver isso passo a passo. Começamos pela primeira congruência: - \( x = 3k + 1 \) para algum inteiro \( k \). Substituímos na segunda congruência: - \( 3k + 1 \equiv 2 \mod 5 \) - \( 3k \equiv 1 \mod 5 \) Para resolver \( 3k \equiv 1 \mod 5 \), encontramos o inverso de 3 módulo 5, que é 2, pois \( 3 \cdot 2 \equiv 1 \mod 5 \). Assim, multiplicamos ambos os lados por 2: - \( k \equiv 2 \mod 5 \) - \( k = 5m + 2 \) para algum inteiro \( m \). Substituímos \( k \) na expressão de \( x \): - \( x = 3(5m + 2) + 1 = 15m + 6 + 1 = 15m + 7 \). Agora, substituímos na terceira congruência: - \( 15m + 7 \equiv 3 \mod 7 \) - \( 15m \equiv -4 \mod 7 \) ou \( 15m \equiv 3 \mod 7 \) (já que -4 é equivalente a 3 módulo 7). Como \( 15 \equiv 1 \mod 7 \), temos: - \( m \equiv 3 \mod 7 \) - \( m = 7n + 3 \) para algum inteiro \( n \). Substituímos \( m \) na expressão de \( x \): - \( x = 15(7n + 3) + 7 = 105n + 45 + 7 = 105n + 52 \). Para encontrar o menor inteiro positivo \( x \), consideramos \( n = 0 \): - \( x = 52 \). Portanto, a resposta correta é: d) 52.