Um campo de velocidade é dado por u = −x, υ = 4𝑥2𝑦2 e 𝑤 = 𝑥 − 𝑦. Determine os componentes do vetor aceleração nas direções x, y e z.

Para determinar os componentes do vetor aceleração nas direções x, y e z a partir do campo de velocidade dado, precisamos usar a fórmula do vetor aceleração em um fluxo tridimensional: \[ \mathbf{a} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \] Como não há dependência do tempo explícita, a aceleração pode ser calculada apenas pela parte convectiva: 1. Campo de Velocidade: - \( u = -x \) - \( v = 4x^2y^2 \) - \( w = x - y \) 2. Cálculo das derivadas parciais: - Para \( a_x \): \[ a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \] Como \( u \) não depende do tempo, temos: \[ a_x = u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \] Calculando as derivadas: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \] Portanto: \[ a_x = (-x)(-1) + (4x^2y^2)(0) + (x - y)(0) = x \] - Para \( a_y \): \[ a_y = u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} \] Calculando as derivadas: \[ \frac{\partial v}{\partial x} = 8xy^2, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 8x^2y, \quad \frac{\partial v}{\partial z} = 0 \] Portanto: \[ a_y = (-x)(8xy^2) + (4x^2y^2)(8x^2y) + (x - y)(0) = -8x^2y^2 + 32x^4y^3 \] - Para \( a_z \): \[ a_z = u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y} + w \frac{\partial w}{\partial z} \] Calculando as derivadas: \[ \frac{\partial w}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial w}{\partial y} = -1, \quad \frac{\partial w}{\partial z} = 0 \] Portanto: \[ a_z = (-x)(1) + (4x^2y^2)(-1) + (x - y)(0) = -x - 4x^2y^2 \] 3. Resultados Finais: - \( a_x = x \) - \( a_y = -8x^2y^2 + 32x^4y^3 \) - \( a_z = -x - 4x^2y^2 \) Esses são os componentes do vetor aceleração nas direções x, y e z.